Question

20．已知S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n＞1，n∈N^*）求證：S${\;}_{{2}^{n}}$＞1+$\frac{n}{2}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式．

解答 證明：當(dāng)n=2時(shí)，左邊=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$，右邊=$1+\frac{2}{2}=2$，左邊＞右邊；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即${S}_{{2}^{k}}＞1+\frac{k}{2}$，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，${S}_{{2}^{K+1}}$=${S}_{{2}^{K}}+\frac{1}{{2}^{k}+1}+\frac{1}{{2}^{k}+2}+…+\frac{1}{{2}^{k+1}}$
$＞1+\frac{k}{2}+$$\frac{1}{{2}^{k}+1}+\frac{1}{{2}^{k}+2}+…+\frac{1}{{2}^{k+1}}$$＞1+\frac{k}{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}+\frac{1}{{2}^{k+1}}+…+\frac{1}{{2}^{k+1}}$
=$1+\frac{k}{2}+\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}=1+\frac{k+1}{2}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，
綜上，S${\;}_{{2}^{n}}$＞1+$\frac{n}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)命題，考查了數(shù)列不等式的證法，在利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，可穿插運(yùn)用放縮法等其它方法，是中檔題．