Question

5．已知方程e^x-$\frac{x}{a}$=0（a∈R）有兩個不相等的根，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 方程e^x-$\frac{x}{a}$=0可化為a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，再令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$確定函數(shù)的單調(diào)性，從而由零點的判定定理確定a的取值范圍．

解答 解：方程e^x-$\frac{x}{a}$=0可化為a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
故f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，
在（1，+∞）上是減函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→-∞}$$\frac{x}{{e}^{x}}$=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{x}{{e}^{x}}$=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，
又∵f（1）=$\frac{1}{e}$；
故若方程e^x-$\frac{x}{a}$=0（a∈R）有兩個不相等的根，
則0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．