Question

15．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$．
（1）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$且a=1時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若x∈[0，π]且a=-1時(shí)，方程f（x）=b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，求b的取值范圍及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求得$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，從而可求得）2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值和最小值；
（2）代入a=-1，可得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，結(jié)合該函數(shù)在區(qū)間[o，π]的圖象把方程f（x）=b的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．

解答 解：（1））若a=1，則f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取得最大值為2，此時(shí)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2在∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值為4，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取得最小值為2sin$\frac{7π}{6}$=2×$（-\frac{1}{2}）$=-1，此時(shí)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2在∈[0，$\frac{π}{2}$]的最小值為-1+2=1．
（2）若$a=-1，f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵0≤x≤π，
∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{13π}{6}$
∴-$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴-1≤f（x）≤2，
當(dāng)f（x）=b有兩不等的根，結(jié)合函數(shù)的圖象可得1＜b＜2或-2＜b＜1，
即b∈（-2，1）∪（1，2）；
由2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{π}{6}$，
由2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，得x=$\frac{2π}{3}$，
即函數(shù)在[0，π]內(nèi)的對(duì)稱(chēng)性為x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{2π}{3}$，
次兩個(gè)根分別關(guān)于x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱(chēng)，
即${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}或{x_1}+{x_2}=\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的性質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中運(yùn)用，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．