Question

13．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，則數(shù)列{b_n}的前20項(xiàng)的和為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=3n+1，化簡(jiǎn)可得可得b_n=$\frac{\sqrt{3n+4}-\sqrt{3n+1}}{3\sqrt{（3n+1）（3n+4）}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$-$\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，
可得a_n=4+3（n-1）=3n+1，
b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，
可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n+1}}+{a}_{n+1}\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{（3n+1）\sqrt{3n+4}+（3n+4）\sqrt{3n+1}}$
=$\frac{1}{\sqrt{（3n+1）（3n+4）}（\sqrt{3n+1}+\sqrt{3n+4}）}$=$\frac{\sqrt{3n+4}-\sqrt{3n+1}}{3\sqrt{（3n+1）（3n+4）}}$
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$-$\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$），
則數(shù)列{b_n}的前20項(xiàng)的和為b₁+b₂+…+b₂₀
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{7}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}}$-$\frac{1}{\sqrt{10}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{61}}$-$\frac{1}{8}$）
=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，同時(shí)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．