Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)，得單調(diào)區(qū)間；
（2）令t=x+1，若x≥0時(shí)，則t≥1
函數(shù)f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1=alnt+

1

t

+3t-4．
x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，等價(jià)于t≥1時(shí)，alnt+

1

t

+3t-4≥0．
令g（t）=alnt+

1

t

+3t-4．
對(duì)函數(shù)g（t）求導(dǎo)，研究g（t）即可．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

+3=

3x2+7x+3

(x+1)2

，
令f′（x）=0得x₁=

-7- 13

6

、x₂=

-7+ 13

6

，
∴當(dāng)-1＜x＜

-7+ 13

6

時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，

-7+ 13

6

）；
∴當(dāng)x＞

-7+ 13

6

時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

-7+ 13

6

，+∞）；
（2）令t=x+1，若x≥0時(shí)，則t≥1
函數(shù)f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1=alnt+

1

t

+3t-4．
x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，等價(jià)于t≥1時(shí)，alnt+

1

t

+3t-4≥0．
令g（t）=alnt+

1

t

+3t-4．
g（1）=0+1+3-4=0
g′（t）=

a

t

-

1

t2

+3=

3t2+at-1

t2

設(shè)h（t）=3t²+at-1
則h（t）恒過(guò)（0，-1）
①當(dāng)h（1）≥0，畫(huà)函數(shù)y=h（t）的圖象如圖：

故當(dāng)h（1）≥0，即3+a-1≥0，也即a≥-2時(shí)，h（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g′（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g（t）在t≥1時(shí)遞增，∴g（t）≥g（1）=0恒成立，
②當(dāng)h（1）＜0時(shí)，

即當(dāng)h（1）＜0，即3+a-1＜0，也即a＜-2時(shí)，h（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g′（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g（t）在t∈（1，t₂）時(shí)遞減，∴g（t）＜g（1）=0恒成立，不滿足g（t）＞0恒成立，
綜上a≥-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，情況復(fù)雜時(shí)，可以進(jìn)行分類(lèi)討論，同時(shí)結(jié)合圖象解題也是常用方法．