Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA=tBC（t＞0）
（Ⅰ）當t=1時，求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PA⊥BD，ABCD是正方形，BD⊥AC，由此能證明BD⊥PC．
（2）AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標系，利用向量法能求出二面角A-PD-Q的余弦值．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵ABCD是矩形，AB=BC，∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
∵PC∈平面PAC，∴BD⊥PC．
（2）解：∵AB，AD，AP兩兩垂直，
分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標系，
如圖所示，令AB=1，可得BC=

1

t

，
則B（1，0，0），D（0，

1

t

，0），P（0，0，1），
設(shè)BQ=m，則Q（1，m，0），（0≤m≤

1

t

），
要使PQ⊥QD，
只要

PQ

•

QD

=-1+m（

1

t

-m）=0，
即m²-m

1

t

+1=0，
由△=0，得t=

1

2

，此時m=1，
所以BC邊上有且只有一個點Q，
使得PQ⊥QD時，Q為BC的中點，且t=

1

2

，
設(shè)面PQD的法向量

p

=（x，y，1），
則

p • OD =-x+y=0 p • DP =-2y+1=0

，
解得

p

=(

1

2

，

1

2

，1)，
取平面PAD的法向量

q

=(1，0，0)，
則＜

p

，

q

＞的大小與二面角A-PD-Q的大小相等，
所以cos＜

p

，

q

＞=

6

6

，
因此二面角A-PD-Q的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．