Question

已知一元二次不等式x²+ax+2a-3＞0的解集為R
（1）若實(shí)數(shù)a的取值范圍為集合A，求A．
（2）對(duì)任意的x∈A，都使得不等式x²+（b-1）x+9≥0恒成立．求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，得到x²+ax+2a-3＞0的解集為R的等價(jià)條件為△＜0；
（2）對(duì)任意的x∈A，都使得不等式x²+（b-1）x+9≥0恒成立，只要b≥1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）很成立，只要求出f(x)=1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）的最大值．

解答： 解：（1）因?yàn)閤²+ax+2a-3＞0的解集為R，所以△＜0，即a²-8a+12＜0，解得2＜a＜6，所以A={a|2＜a＜6}．
（2）對(duì)任意的x∈A，都使得不等式x²+（b-1）x+9≥0恒成立，只要b≥1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）很成立．
令f(x)=1-(x+

9

x

)，x∈（2，6）．∴f(x)≤1-2

x• 9 x

=-5．當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，3∈（2，6），取等號(hào)．
所以b≥-5．b的取值范圍為：[-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式恒成立問題的解答方法；注意結(jié)合與二次函數(shù)的關(guān)系解答．