Question

3．若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（-3）=0，則不等式x[f（-x）-f（x）]＜0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-2，0）∪（3，+∞）
• C． （-3，3）
• D． （-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)分析可得x[f（-x）-f（x）]＜0?xf（x）＞0，結合函數(shù)的單調(diào)性以及f（-3）=0分2種情況討論：①、當x∈（-∞，-3）∪（0，3）上②、當x∈（-3，0）∪（3，+∞）上，分別求出每種情況下x的取值范圍，綜合即可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
則x[f（-x）-f（x）]＜0⇒x[-2f（x）]＜0⇒xf（x）＞0，
若奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也為增函數(shù)，
又由f（-3）=0，則f（3）=0；
分2種情況討論：
①、當x∈（-∞，-3）∪（0，3）上時，f（x）＜0，
若xf（x）＞0，必有x＜0，
此時x[f（-x）-f（x）]＜0的解集為（-∞，-3），
②、當x∈（-3，0）∪（3，+∞）上時，f（x）＞0，
若xf（x）＞0，必有x＞0，
此時x[f（-x）-f（x）]＜0的解集為（3，+∞），
綜合可得：不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集為（-∞，-3）∪（3，+∞）；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，其中奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，是解答本題的關鍵．