Question

15．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率為$\frac{4}{3}$的直線l與C及其準(zhǔn)線分別相交于A、B、D三點(diǎn)，則$\frac{|AD|}{|BD|}$的值為（　　）

• A． 2或$\frac{1}{2}$
• B． 3或$\frac{1}{3}$
• C． 1
• D． 4或$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)拋物線方程，代入橢圓方程，設(shè)$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得λ的值，分類討論，根據(jù)拋物線的定義及相似性，即可求得丨BD丨及丨AD丨，即可求得$\frac{|AD|}{|BD|}$的值．

解答 解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），過A和B分別做準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，
則直線AB的方程：y=$\frac{4}{3}$（x-$\frac{p}{2}$）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：y²-$\frac{3}{2}$py-p²=0，
則y₁+y₂=$\frac{3}{2}$p，y₁y₂=-p²，
設(shè)$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，（$\frac{p}{2}$-x₁，-y₁）=（x₂-$\frac{p}{2}$，y₂），則-y₁=λy₂，由$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$+2=-$\frac{9}{4}$，
∴-λ-$\frac{1}{λ}$+2=-$\frac{9}{4}$，整理得：λ²-17λ+4=0，解得：λ=4或λ=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)λ=4時(shí)，丨AF丨=4丨BF丨，則丨AB丨=5丨BF丨，
由拋物線的定義可知：丨BF丨=丨BB′丨，
由直線AB的斜率為$\frac{4}{3}$，則sin∠∠BDB′=$\frac{3}{5}$，即sin∠BDB′=$\frac{丨BB′丨}{丨BD丨}$=$\frac{4}{3}$，
∴丨BD丨=$\frac{5}{3}$丨BB′丨=$\frac{5}{3}$丨BF丨，丨AD丨=丨AB丨+丨BD丨=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{|AD|}{|BD|}$的值4，

當(dāng)λ=$\frac{1}{4}$，4丨AF丨=丨BF丨，則丨AB丨=5丨AF丨，
由拋物線的定義可知：丨AF丨=丨AB′丨，
由直線AB的斜率為$\frac{4}{3}$，則sin∠∠ADF′=$\frac{3}{5}$，即sin∠ADF′=$\frac{丨AA′丨}{丨AD丨}$=$\frac{4}{3}$，
∴丨AD丨=$\frac{5}{3}$丨AB′丨=$\frac{5}{3}$丨AF丨，丨BD丨=丨AB丨+丨AD丨=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{|AD|}{|BD|}$的值$\frac{1}{4}$，

故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．