Question

在直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為x²-8xcosθ+y²-6ysinθ+7cos²θ+8=0，在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A（2，0）
（Ⅰ）求圓心軌跡的普通方程C；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在曲線C上，求|PA|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓心坐標(biāo)，消去參數(shù)后得圓心的軌跡方程；
（Ⅱ）由題意方程求得其左右頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A為橢圓的右頂點(diǎn)可得|PA|的取值范圍．

解答： 解（Ⅰ）將圓的方程整理得：（x-4cosθ）²+（y-3sinθ）²=1．
設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），則

x=4cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)，θ∈R），
消掉θ得：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由

x2

4

+

y2

3

=1，得橢圓左右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（-2，0），（2，0），
而A（2，0），
∴橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的點(diǎn)P與A的距離的最小值為0，最大值為4．
故|PA|的取值范圍是[0，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的參數(shù)方程化普通方程，是基礎(chǔ)題．