Question

【題目】如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米， 米，記∠BHE=θ．

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若 ，求此時(shí)管道的長度L；
（3）當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ，

．

由于 ， ，

所以 ，

所以 ．

所以 ，

（2）解：當(dāng) 時(shí)，

，

（米）

（3）解： ，

設(shè)sinθ+cosθ=t，

則 ，

所以 ．

由于 ，

所以 ．

由于 在 上單調(diào)遞減，

所以當(dāng) 即 或 時(shí)，

L取得最大值 米．

答：當(dāng) 或 時(shí)，污水凈化效果最好，此時(shí)管道的長度為 米

【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點(diǎn)，易得 ， ， ，由污水凈化管道的長度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)．（2）若 ，結(jié)合（1）中所得的函數(shù)解析式，代入易得管道的長度L的值．（3）污水凈化效果最好，即為管道的長度最長，由（1）中所得的函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，易得結(jié)論．