Question

12．若不等式x²-log_ax＜0對任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． [$\frac{1}{16}$，1）
• C． （1，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{16}$]

Answer 1

分析 由題意可得，x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，函數(shù)y=x²的圖象在函數(shù)y=log_ax的圖象的下方，可得0＜a＜1．再根據(jù)它們的單調(diào)性可得（$\frac{1}{2}$）²≤log_a$\frac{1}{2}$，解此對數(shù)不等式求得a的范圍．

解答 解：∵不等式x²-log_ax＜0對任意x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，函數(shù)y=x²的圖象在函數(shù)y=log_ax的圖象的下方，∴0＜a＜1．
再根據(jù)它們的單調(diào)性可得（$\frac{1}{2}$）²≤log_a$\frac{1}{2}$，即log_a$\frac{1}{2}$≥log_a${a}^{\frac{1}{4}}$，
∴${a}^{\frac{1}{4}}$≥$\frac{1}{2}$，∴a≥$\frac{1}{16}$．
綜上可得，$\frac{1}{16}$≤a＜1，
故選：B．

點評 本題主要考查對數(shù)不等式的解法，同時考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．