Question

17．給出下列4個(gè)函數(shù)：①f（x）=sinx；②f（x）=2^x；③f（x）=$\frac{1}{x-1}$；④f（x）=lnx，則滿足對(duì)定義域D內(nèi)的?x∈D，?y∈D，使f（x）=-f（y）成立的函數(shù)序號(hào)為①③④．

Answer 1

分析 分別求出四個(gè)函數(shù)的定義域和值域，結(jié)合條件即找出值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，即可判斷①③④成立，②不成立．

解答 解：對(duì)于①f（x）=sinx，由于-1≤sinx≤1，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足對(duì)定義域D內(nèi)的?x∈D，?y∈D，使f（x）=-f（y）成立；
對(duì)于②f（x）=2^x，由于2^x＞0，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則不滿足對(duì)定義域D內(nèi)的?x∈D，?y∈D，使f（x）=-f（y）成立；
對(duì)于③f（x）=$\frac{1}{x-1}$，定義域?yàn)閧x|x≠1，x∈R}，值域?yàn)閧y|y≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)定義域D內(nèi)的?x∈D，有
$\frac{1}{x-1}$=-$\frac{1}{y-1}$等價(jià)為x+y=2，恒成立，則滿足條件；
對(duì)于④f（x）=lnx，由于lnx的值域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）=-f（y）等價(jià)為lnx=-lny，即為xy=1，恒成立，則滿足條件．
則成立的序號(hào)為①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域的運(yùn)用，考查滿足條件的x，y的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．