Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx
（1）若f（x）＜0恒成立，試求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

1

2

x²+（a²-a+1）x，令h（x）=g（x）-af（x），試證明存在唯一的正實(shí)數(shù)a₀，使得函數(shù)h（x）的最小值為0，且1＜a₀＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用參數(shù)分離，可得-a＞

lnx

x

，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍；
（2）求出h（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）為遞增函數(shù)，無最值，當(dāng)a＞0時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最小值h（a），由零點(diǎn)存在定理可得h（1）h（2）＜0，再由h（a）的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證．

解答： （1）解：若f（x）＜0恒成立，即為ax+lnx＜0對(duì)x＞0恒成立．
即有-a＞

lnx

x

，
令m（x）=

lnx

x

，m′（x）=

1-lnx

x2

，
當(dāng)x＞e時(shí)，m′（x）＜0，m（x）遞減；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，m′（x）＞0，m（x）遞增．
則x=e處m（x）取得極大值，也為最大值，且為

1

e

，
則有-a＞

1

e

，即a＜-

1

e

；
（2）證明：h（x）=g（x）-af（x）=

1

2

x²+（a²-a+1）x-a²x-alnx=

1

2

x²+（1-a）x-alnx，
h′（x）=x+（1-a）x-

a

x

=

x2+(1-a)x-a

x

=

(x+1)(x-a)

x

，
當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，不存在最小值，
則a＞0，當(dāng)x＞a時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，當(dāng)0＜x＜a時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
則x=a處h（x）取得極小值，也為最小值，且為a-

1

2

a²-alna，
令h（a）=a-

1

2

a²-alna，
h（1）=1-

1

2

-0＞0，h（2）=2-2-2ln2＜0，
由零點(diǎn)存在定理可得，h（a）在（1，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，
又h′（a）=1-a-（lna+1）=-a-lna＜0，h（a）遞減，
則存在唯一的正實(shí)數(shù)a₀，使得函數(shù)h（x）的最小值為0，且1＜a₀＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)考查零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，應(yīng)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求極值和最值是解題的關(guān)鍵．