Question

(本小題滿分14分)

E

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面

A

所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，

D

C

B

 (Ⅰ)求證：平面⊥平面；

(Ⅱ)在棱上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 平面⊥平面
(Ⅱ) E是PD中點(diǎn)，存在E點(diǎn)使得CE//面PAB

解：不妨設(shè)PA = 1.
(Ⅰ)由題意PA = BC =" 1," AD = 2．
∵ PA⊥面ABCD，∴ PB與面ABCD所成的角為∠PBA = 45°．………………2分
∴ AB = 1，由∠ABC = ∠BAD = 90°，易得CD = AC = ．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．……………………3分
又∵ PA⊥CD, PA∩AC = A，∴ CD⊥面PAC,……………………5分
又CDÌ面PCD，

z

∴ 面PAC⊥面PCD．……………………7分

P

(Ⅱ)分別以AB, AD, AP所在直線分別為x軸, y軸, z軸

E

建立空間直角坐標(biāo)系．

∴ P(0, 0, 1), C(1, 1, 0), D(0, 2, 0)．………… 8分
 
設(shè)，則,．…………………… 9分
∵，∴ y·(－1)－2 (z－1) =" 0" … ①…………………………… 10分
是平面的法向量，…………………………… 11分
又，由，∴．…………………………… 12分
∴，∴ y = 1，代入①得z = ． …………………13分
∴ E是PD中點(diǎn)，∴ 存在E點(diǎn)使得CE//面PAB．   …………………… 14分