Question

13．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a．
（Ⅰ）求證：平面A₁BC₁∥平面AD₁C；
（Ⅱ）求正方體夾在平面A₁BC₁與平面AD₁C之間的幾何體的體積．

Answer 1

分析 （I）證明四邊形BCD₁A₁，ACC₁A₁為平行四邊形即可得出A₁B∥D₁C，AC∥A₁C₁，從而得出平面A₁BC₁∥平面AD₁C；
（II）用正方體的體積減去兩個小三棱錐的體積即為夾在平面A₁BC₁與平面AD₁C之間的幾何體的體積．

解答 （I）證明：∵BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四邊形BCD₁A₁是平行四邊形，
∴A₁B∥D₁C，
同理可得：A₁C₁∥AC，
又A₁B?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
D₁C?平面AD₁C，AC?平面AD₁C，AC∩D₁C=C，A₁B∩A₁C₁=A₁，
∴平面A₁BC₁∥平面AD₁C．
（II）解：V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{{D}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}•a=\frac{{a}^{3}}{6}$，
∴V${\;}_{{A}_{1}B{C}_{1}-A{D}_{1}C}$=V_正方體-V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{{D}_{1}-ACD}$=a³-$\frac{{a}^{3}}{6}$-$\frac{{a}^{3}}{6}$=$\frac{2{a}^{3}}{3}$．

點評 本題考查了面面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．