Question

已知函數(shù)f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．

Answer 1

解析： ∵f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

即方程(2^x)²＋m·2^x＋1＝0僅有一個(gè)實(shí)根．

設(shè)2^x＝t(t>0)，則t²＋mt＋1＝0.

①若Δ＝0，即m²－4＝0，

當(dāng)m＝－2時(shí)，t＝1；當(dāng)m＝2時(shí)，t＝－1不合題意，舍去．

∴2^x＝1，x＝0符合題意．

②若Δ>0，即m>2或m<－2，

t²＋mt＋1＝0有一正一負(fù)兩根，

即t₁t₂<0，這與t₁t₂>0矛盾．

∴這種情況不可能．

綜上可知，m＝－2時(shí)，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0.