Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=

10

．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-D的大小為45°，求AP的值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設O為AC與BD的交點，作DE⊥BC于點E，由已知條件推導出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能夠證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）作OH⊥PC于點H，連接DH，由已知條件推導出∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，從而得到∠DHO=45°，由此能求出AP的長．

解答： （Ⅰ）證明：設O為AC與BD的交點，作DE⊥BC于點E，
由四邊形ABCD是等腰梯形，
得CE=

BC-AD

2

=1，DE=

DC2-CE2

=3，
∴BE=DE，∴∠DBC=∠BCA=45°，
∴∠BOC=90°，∴AC⊥BD，
由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：作OH⊥PC于點H，連接DH，
由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，∴DO⊥PC，
∴PC⊥平面DOH，從而得到PC⊥OH，PC⊥DH，
∴∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，
∵二面角A-PC-D的大小為45°，
∴∠DHO=45°，
由∠DBC=∠BCA=45°，BC=4，得OC=2

2

，
同理，得OA=

2

，∴AC=3

2

，
設PA=x，則PC=

x2+18

，
在Rt△DOH中，由DO=

2

，得OH=

2

，
在Rt△PAC中，由

PA

PC

=

OH

OC

，得

x

x2+18

=

2

2 2

，
解得x=

6

，即AP=

6

．

點評：本題考查直線與平央垂直的證明，考查線段長的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意合理地化空間問題為平面問題．