Question

設(shè)△ABC是邊長為1的正三角形，點P₁，P₂，P₃四等分線段BC（如圖所示）．
（Ⅰ）求

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

的值；
（Ⅱ）設(shè)動點P在邊BC上，
   （i）請寫出一個

|BP|

的值使

PA

•

PC

＞0，并說明理由；
   （ii）當

PA

•

PC

取得最小值時，求cos∠PAB的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

=

AP1

•（

AB

+

AP2

）=2

AP1

2，由余弦定理求得

AP1

2，從而求得結(jié)果．
（Ⅱ）（i）要使

PA

•

PC

＞0，需∠APC為銳角，故點P應在線段BP₂上（不含P₂），可得

|BP|

的值．
（ii）當點P在線段BC上時（不含P₂），

PA

•

PC

＞0；當點P在線段P₂C時，

PA

•

PC

≤0，可得點P一定在線段P₂C上，設(shè)|

PC

|=x，則

PA

•

PC

=|

PA

|•|

PC

|cos＜

PA

 ，

PC

＞=x²-

1

2

x，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得

PA

•

PC

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

=

AP1

•（

AB

+

AP2

）=2

AP1

2．
△ABP₁中，由題意利用余弦定理可得AP12=1+

1

16

-2×1×

1

4

×cos60°，
∴2

AP1

2=2（1+

1

16

-2×1×

1

4

×cos60°）=

13

8

，即

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

=

13

8

．
（Ⅱ）設(shè)動點P在邊BC上，
（i）要使

PA

•

PC

＞0，需∠APC為銳角，
故點P應在線段BP₂上（不含P₂），故|

BP

|＜

1

2

，即

|BP|

的值為區(qū)間[0，

1

2

）內(nèi)的任意一個值．
（ii）當點P在線段BP₂上時（不含P₂），

PA

•

PC

＞0．
當點P在線段P₂C時，

PA

•

PC

≤0，當

PA

•

PC

取得最小值時，點P一定在線段P₂C上．
設(shè)|

PC

|=x，由于AP₂⊥BC，
則

PA

•

PC

=|

PA

|•|

PC

|cos＜

PA

 ，

PC

＞=|

PC

|•（-|

PP2

|）=x（x-

1

2

）=x²-

1

2

x，
故當x=

1

4

時，即P在P₃時，

PA

•

PC

取得最小值，此時，cos∠PAB=

5

26

13

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．