Question

已知異面直線a，b所成的角為θ，P為空間任意一點，過P作直線l，若l與a，b所成的角均為φ，有以下命題：
①若θ=60°，φ=90°，則滿足條件的直線l有且僅有l(wèi)條；
②若θ=60°，φ=30°，則滿足條件的直線l有僅有l(wèi)條；
③若θ=60°，φ=70°，則滿足條件的直線l有且僅有4條；
④若θ=60°，φ=45°，則滿足條件的直線l有且僅有2條；
上述4個命題中真命題有（　�。�

• A、l個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：如果a與b所成角為θ，過P點與a，b所成角都是φ的直線條數(shù)為：若φ＜

θ

2

，則為0條；若φ=

θ

2

，則為1條；若

θ

2

＜φ＜

180°-θ

2

，則為2條；若φ=

180°-θ

2

，則為3條；若

180°-θ

2

＜φ＜90°，則為4條；若φ=90⁰，則為1條．

解答： 解：如果a與b所成角為θ，過P點與a，b所成角都是φ的直線條數(shù)為：
若φ＜

θ

2

，則為0條；若φ=

θ

2

，則為1條；若

θ

2

＜φ＜

180°-θ

2

，則為2條；
若φ=

180°-θ

2

，則為3條；若

180°-θ

2

＜φ＜90°，則為4條；
若φ=90⁰，則為1條．
由此可知：
 ①若θ=60°，φ=90°，則滿足條件的直線l有且僅有l(wèi)條，是真命題；
②若θ=60°，φ=30°，則滿足條件的直線l有僅有l(wèi)條，是真命題；
③若θ=60°，φ=70°，則滿足條件的直線l有且僅有4條，是真命題；
④若θ=60°，φ=45°，則滿足條件的直線l有且僅有2條，是真命題．
故選：D．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，以及射影等知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．