Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，點(diǎn)M在橢圓上，且滿足MF₂⊥x軸，|MF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₁，F(xiàn)₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓C分別交于D、E、M、N四點(diǎn)，試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由根據(jù)橢圓的離心率a²=$\frac{3}{2}$b²，|MF₁|=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）當(dāng)直線DE和直線MN與x軸垂直時，可求得四邊形DMEN的面積；當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時，設(shè)DE的直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而利用韋達(dá)定理可得x₁x₂和x₁+x₂，利用弦長公式求得|DE|，同理可表示出|MN|進(jìn)而可表示出四邊形的面積，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得四邊形的面積的范圍，則最大值和最小值可得．

解答 解：（1）由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則a²=$\frac{3}{2}$b²，①
由滿足MF₂⊥x軸，則|MF₁|=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．②
由①②，解得：a²=3，b²=2，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）①當(dāng)直線DE與x軸垂直時，|DE|=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此時|MN|=2a=2$\sqrt{3}$，
四邊形DMEN的面積S=$\frac{1}{2}$×|DE|×|MN|=4；
同理當(dāng)MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積S=4．
②當(dāng)直線DE、NM均與x軸不垂直時，設(shè)直線DE：y=k（x+1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$．
∴|DE|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{2+3{k}^{2}}$；
同理可得|MN|=$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{3+2{k}^{2}}$．
∴四邊形的面積S=$\frac{1}{2}$×|DE|×|MN|=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{2+3{k}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{3+2{k}^{2}}$=$\frac{24（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2）}{6（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+13}$．
令u=k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取等號．
S=$\frac{24（u+2）}{6u+13}$=4（1-$\frac{1}{6u+13}$）．
∴當(dāng)u=2，S=$\frac{96}{25}$，
且S是以u為自變量的增函數(shù)，
∴$\frac{96}{25}$≤S＜4，．
綜上可知，$\frac{96}{25}$≤S≤4．
因此四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為$\frac{96}{25}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題．涉及了直線與橢圓的關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長公式，考查了學(xué)生綜合分析問題和基本運(yùn)算的能力，屬于中檔題．