Question

設(shè),.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求證：在數(shù)軸上，介于與之間，且距較遠(yuǎn)；
（Ⅲ）在數(shù)軸上，之間的距離是否可能為整數(shù)？若有，則求出這個(gè)整數(shù)；若沒有，
說明理由.

Answer 1

略

試題分析：i(Ⅰ) 證明不成立問題一般采用反證法，即假設(shè)問題成立，從假設(shè)開始推理論證得出矛盾，則說明假設(shè)不成立原命題成立。（Ⅱ）只需證明即可說明介于與之間。下面應(yīng)分兩種情況證明，當(dāng)時(shí)，用作差法比較和 的大小當(dāng)時(shí)，說明距較遠(yuǎn)。當(dāng)時(shí)同理可證。（Ⅲ）用反證法：假設(shè)存在整數(shù)m為之間的距離，不妨設(shè)，將代入上式整理可得關(guān)于的一元二次方程。用求根公式可將解出。若與已知相矛盾，則說明假設(shè)不成立，否則假設(shè)成立。
試題解析：(Ⅰ)假設(shè)與已知，
所以.         3分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033215124401.png" style="vertical-align:middle;" /> ，所以
所以或。即或。所以介于與之間。
若則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033215311564.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
則，所以，所以距較遠(yuǎn)。
當(dāng)時(shí)，同理可證。
綜上可得在數(shù)軸上，介于與之間，且距較遠(yuǎn)。
（Ⅲ）假設(shè)存在整數(shù)m為之間的距離，不妨設(shè)，
則有，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033215124401.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即。所以。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033215607451.png" style="vertical-align:middle;" />,所以只有。當(dāng)時(shí)，或，與假設(shè)矛盾，故，之間的距離不可能為整數(shù)。