Question

1．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（4sin（π-α），$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{π}{3}$，cosα），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求$\frac{1}{1+sinαcosα}$的值．

Answer 1

分析 （I）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
（Ⅱ）$\frac{1}{1+sinαcosα}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+sinαcosα+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1}{ta{n}^{2}α+tanα+1}$．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$=（4sin（π-α），$\frac{3}{2}$）=（4sinα，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，cosα），
（I）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2sinα+$\frac{3}{2}cosα$=0．
∴tanα=-$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）$\frac{1}{1+sinαcosα}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+sinαcosα+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1}{ta{n}^{2}α+tanα+1}$=$\frac{\frac{9}{16}+1}{\frac{9}{16}-\frac{3}{4}+1}$=$\frac{25}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．