Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2$\sqrt{7}$，E為棱PD中點．
（1）求證：PD⊥平面ABE；
（2）求四棱錐P-ABCD外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PA⊥AB，AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而AB⊥PD，再由AE⊥PD，能證明PD⊥平面ABE．
（II）四棱錐P-ABCD外接球球心是線段BD和線段PA的垂直平分線交點O，由此能求出四棱錐P-ABCD外接球的體積．

解答 證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PA⊥AB，又∵底面ABCD為矩形，
∴AB⊥AD，PA∩AD，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E為PD中點，
∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，
∴PD⊥平面ABE．
解：（II）四棱錐P-ABCD外接球球心是線段BD和線段PA的垂直平分線交點O，
由已知BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
設(shè)C為BD中點，∴AM=2$\sqrt{2}$，OM=$\frac{1}{2}$AP=1，
∴OA=$\sqrt{A{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∴四棱錐P-ABCD外接球的體積是$\frac{4}{3}πA{M}^{3}$=36π．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．