Question

15．某圓錐曲線C是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點A（$-2，2\sqrt{3}）$，B（1，-3）．試求其離心率．

Answer 1

分析 設圓錐曲線方程為mx²+ny²=1，將A和B代入即求得m和n的值，求得曲線方程，根據雙曲線的性質，即可求得其離心率．

解答 解：設圓錐曲線方程為mx²+ny²=1，
將A（$-2，2\sqrt{3}）$，B（1，-3）代入圓錐曲線方程，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4m+12n=1}\\{m+9n=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{8}}\\{n=\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，
圓錐曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{8}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$，
∴曲線C為焦點在y軸上的雙曲線，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$，c=4，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴離心率為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查雙曲線的幾何性質及離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．