Question

7．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：其中真命題為④（寫出所有真命題的序號）
①A、B為不同的兩個定點，K為非零常數(shù)，若|PA|-|PB|=K，則動點P的軌跡是雙曲線．
②平面內(nèi)與兩個定點F₁，F(xiàn)₂的距離和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．
③平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
④已知拋物線y²=2px，以過焦點的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切．

Answer 1

分析 逐項判斷每個命題的正誤，即可得到答案．①根據(jù)雙曲線的定義易知命題為假命題；②距離之和需大于兩定點距離，故為假命題；③定點需在直線外；④利用拋物線的定義，構(gòu)造梯形易解．

解答 解：①根據(jù)雙曲線的定義知命題為假命題；②根據(jù)橢圓的定義，該常數(shù)應(yīng)該大于兩定點的距離之和，故為假命題；③根據(jù)拋物線的定義，定點應(yīng)該在直線外，故此命題為假命題；④過AB分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，取AB中點E，過E作準(zhǔn)線垂線，垂足為H，易知EH為梯形ABNM的中位線，所以|EH|=$\frac{1}{2}$|AM|+|AN|），
又|BM|+|AN|=|AF|+|BF|=|AB|，所以|EH|=$\frac{1}{2}$|AB|，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故④為真命題．
綜上可知，答案為④．

點評 本題考查三種圓錐曲線的定義．掌握每個曲線的定義的前提條件是正確解答本題的關(guān)鍵．屬于易錯題．