Question

9．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足$f（{x+2}）=\frac{1}{2}f（x）$，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-2{x^2}，0≤x＜1\\-{2^{1-|{x-\frac{3}{2}}|}}，1≤x＜2\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=x³+3x²+m．若?s∈[-4，-2），?t∈[-4，-2），不等式f（s）-g（t）≥0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-12]
• B． （-∞，-4]
• C． （-∞，8]
• D． $（{-∞，\frac{31}{2}}]$

Answer 1

分析 由f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x）得f（-$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{3}{2}$）=2×（-2）=-4，x∈[-4，-3]，f（-$\frac{5}{2}$）=2f（-$\frac{1}{2}$）=-8，?s∈[-4，2），f（s）_最小=-8，借助導(dǎo)數(shù)判斷：?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，不等式f（s）-g（t）≥0恒成立，得出f（s）_小=-8≥g（t）_最小=g（-4）=m-16，求解即可．

解答 解：∵當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-2{x^2}，0≤x＜1\\-{2^{1-|{x-\frac{3}{2}}|}}，1≤x＜2\end{array}\right.$，
∴x∈[0，2），f（0）=$\frac{1}{2}$為最大值，
∵f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[-2，0]，
∴f（-2）=2f（0）=2×$\frac{1}{2}$=1，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-4）=2f（-2）=2×1=2，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[-2，0]，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{3}{2}$）=2×（-2）=-4，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=2f（-$\frac{1}{2}$）=-8，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最小=-8，
∵函數(shù)g（x）=x³+3x²+m，
∴g′（x）=3x²+6x，
3x²+6x＞0，x＞0，x＜-2，
3x²+6x＜0，-2＜x＜0，
3x²+6x=0，x=0，x=-2，
∴函數(shù)g（x）=x³+3x²+m，在（-∞，-2）（0，+∞）單調(diào)遞增．
在（-2，0）單調(diào)遞減，
∴?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，
∵不等式f（s）-g（t）≥0，
∴-8≥m-16，
故實(shí)數(shù)滿足：m≤8，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象的應(yīng)用，判斷最大值，最小值問題，來解決恒成立和存在性問題，屬于中檔題．