Question

4．提高跨江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀態(tài)．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到140輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．經(jīng)研究表明：當(dāng)20≤x≤140時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤140時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意知，此分段函數(shù)來(lái)分界點(diǎn)處的函數(shù)值相等，所以由此可以得到一次函數(shù)解析式．
（2）分段函數(shù)求最大值，只需分段求解之后找到最大一個(gè)即可．

解答 解：（1）當(dāng)20≤x≤140時(shí)，車流速度v（x）是車流密度x的一次函數(shù)．
可以設(shè)為v（x）=kx+b，
∵當(dāng)x=140輛/千米時(shí)，此時(shí)車流速度v=0；
當(dāng)x=20輛/千米時(shí)，車流速度v=60千米/小時(shí)，
∴v（20）=20k+b=60，
v（140）=140k+b=0，
∴k=-$\frac{1}{2}$，b=70，
∴v（x）=-$\frac{1}{2}$x+70，
∴v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60}&{v≤20}\\{-\frac{1}{2}x+70}&{20＜x＜140}\\{0}&{x≥140}\end{array}\right.$．
（2）f（x）=x•v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60x}&{x≤20}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+70x}&{20＜x＜140}\\{0}&{x≥140}\end{array}\right.$，
∴f（x）的最大值為當(dāng)x=70時(shí)，最大為2450輛/小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)解析式以及分段函數(shù)求最大值問(wèn)題，只需分段求解之后找到最大一個(gè)即可．