Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知s₁₀=0，s₁₅=25，則2nS_n的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：S_n =a•n²+bn，則由s₁₀=0，s₁₅=25求得a、b的值，可得S_n的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求得2nS_n的最小值．

解答： 解：設(shè)S_n =a•n²+bn，則由s₁₀=0，s₁₅=25，可得100a+10b=0，225a+15b=25．
求得a=

1

3

，b=-

10

3

，∴S_n =

1

3

•n²-

10

3

n，故2nS_n=

2

3

n³-

20

3

n²．
令f（n）=2nS_n=

2

3

n³-

20

3

n²，則f′（n）=2n²-

40

3

n=2n（n-

20

3

）．
在（0，

20

3

）上，f′（n）＜0，f（n）為減函數(shù)；在（

20

3

，+∞）上，f′（n）＞0，f（n）為增函數(shù)，
故當(dāng)n=

20

3

時，函數(shù)f（n）取得最小值．
再根據(jù)n為正整數(shù)，可得當(dāng)n=7時，函數(shù)f（n）取得最小值為-98，
故答案為：-98．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式，利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．