Question

13．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x}{1-x}$的圖象上任意兩點，P是AB中點，且P的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求證：P點的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）若S_n=$f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）$，n∈N^*，且n≥2，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過中點坐標(biāo)公式及已知條件，可得x₁=1-x₂或x₂=1-x₁，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過S_n中前后對應(yīng)位置的兩項相加即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），
∵P是AB的中點，
∴$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=x=$\frac{1}{2}$，得x₁+x₂=1，
則x₁=1-x₂或x₂=1-x₁，
∴y=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）
=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{1}{2}$+$lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$（1+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{1}{2}$+$lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$（1+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$（1+log₂$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）
=$\frac{1}{2}$，
∴P點的縱坐標(biāo)為定值$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
又∵S_n=$f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）$，
∴S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），
兩式相加，得2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]
=$\underbrace{1+1+…+1}_{n-1}$=n-1，
∴S_n=$\frac{n-1}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

點評 本題考查數(shù)列的求和，涉及到中點坐標(biāo)公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等知識，利用并項法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．