Question

【題目】設函數(shù)f（x）＝x﹣x2+3lnx．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）證明：曲線y＝f（x）在直線y＝2x﹣2的下方(除點外)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值3ln；無極小值； （Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）求導后,得到函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可求得極值;

（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），轉化為證明,利用導數(shù)求得最大值即可證明結論.

（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣2x，

令f′（x）＞0，解得：0＜x，令f′（x）＜0，解得：x，

故f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，

故f（x）極大值＝f（）3ln3ln；無極小值；

（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），

g′（x）＝﹣2x﹣1，

令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，

故g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

故g（x）max＝g（1）＝﹣1﹣1+2+3ln1＝0，

故曲線y＝f（x）在直線y＝2x﹣2的下方(除點外)．