【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:過點(diǎn)有三條直線與曲線相切;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(I)詳見解析;(II).
【解析】試題分析:
(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),寫出切線方程,討論方程根的分布可得過點(diǎn)有三條直線與曲線相切;
(2)利用題意構(gòu)造函數(shù),由新函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
試題解析:解法一:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,
設(shè)直線與曲線相切,其切點(diǎn)為,
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為: ,
因?yàn)榍芯過點(diǎn),所以,
即 ,
∵,∴,
設(shè),
∵, , ,
∴在三個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)根
又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻(gè)根,所以方程恰有三個(gè)根,
故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)∵當(dāng)時(shí), ,即當(dāng)時(shí),
∴當(dāng)時(shí), ,
設(shè),則,
設(shè),則.
(1)當(dāng)時(shí),∵,∴,從而(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)
∴在上單調(diào)遞增,
又∵,∴當(dāng)時(shí), ,從而當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞減,又∵,
從而當(dāng)時(shí), ,即
于是當(dāng)時(shí), .
(2)當(dāng)時(shí),令,得,∴,
故當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞減,
又∵,∴當(dāng)時(shí), ,
從而當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞增,又∵,
從而當(dāng)時(shí), ,即
于是當(dāng)時(shí), ,
綜合得的取值范圍為.
解法二:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,
,
設(shè)直線與曲線相切,其切點(diǎn)為,
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
因?yàn)榍芯過點(diǎn),所以,
即 ,
∵,∴
設(shè),則,令得
當(dāng)變化時(shí), , 變化情況如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴恰有三個(gè)根,
故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)同解法一.
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(Ⅰ)求證: .
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(Ⅰ)求橢圓的方程.
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