【題目】已知橢圓過點，順次連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為，點.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）已知點，是橢圓上的兩點.

（ⅰ）若，且為等邊三角形，求的面積；

（ⅱ）若，證明： 不可能為等邊三角形.

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)面積公式得到，以及點在曲線上，代入得到，以及，求得；（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得直線的傾斜角是或，這樣求得直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到點的坐標(biāo)，求得面積；（ⅱ）因為，所以斜率存在，設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并且表示線段中點的坐標(biāo)，若是等邊三角形，則，可求得，不合題意.

試題解析：（Ⅰ）依題意， ， ，聯(lián)立兩式，解得， ，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）（�。┯�且為等邊三角形及橢圓的對稱性可知，直線和直線與軸的夾角為，由可得.

即或，當(dāng)時， 的面積為；

當(dāng)時， 的面積為.

（ⅱ）因為，故直線斜率存在，設(shè)直線， 中點為，聯(lián)立消去得，

由得到，①

所以， ，

所以.

又，若為等邊三角形，則有，

即，即，化簡得，②

由②得點橫坐標(biāo)為，不合題意.

故不可能為等邊三角形.

（用點差法求點坐標(biāo)也可）

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

（Ⅱ）當(dāng)時， ，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知向量 ，向量 ，函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點向右平行移動 個單位長度，得函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π]上的值域．

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【題目】如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，.和分別是和的中點，求證：

（Ⅰ）底面；

（Ⅱ）平面；

（Ⅲ）平面平面.

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【題目】有三支股票， ， ，28位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有股票的人中，持有股票的人數(shù)是持有股票的人數(shù)的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人數(shù)比除了持有股票外，同時還持有其它股票的人數(shù)多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.則只持有股票的股民人數(shù)是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， 在和處取得極值，且，曲線在處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）證明關(guān)于的方程至多只有兩個實數(shù)根（其中是的導(dǎo)函數(shù)， 是自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市為了引導(dǎo)居民合理用水，居民生活用水實行二級階梯式水價計量辦法，具體如下：第一階梯，每戶居民月用水量不超過12噸，價格為4元/噸；第二階梯，每戶居民月用水量超過12噸，超過部分的價格為8元/噸.為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照， ，…， 分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.

(圖1) (圖2)

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中字母的值，并求該組的頻率；

（Ⅱ）通過頻率分布直方圖，估計該市居民每月的用水量的中位數(shù)的值（保留兩位小數(shù)）；

（Ⅲ）如圖2是該市居民張某2016年1～6月份的月用水費（元）與月份的散點圖，其擬合的線性回歸方程是. 若張某2016年1～7月份水費總支出為312元，試估計張某7月份的用水噸數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)m個正數(shù)a1 ， a2 ， …，am（m≥4，m∈N*）依次圍成一個圓圈．其中a1 ， a2 ， a3 ， …ak﹣1 ， ak（k＜m，k∈N*）是公差為d的等差數(shù)列，而a1 ， am ， am﹣1 ， …，ak+1 ， ak是公比為2的等比數(shù)列．
（1）若a1=d=2，k=8，求數(shù)列a1 ， a2 ， …，am的所有項的和Sm；
（2）若a1=d=2，m＜2015，求m的最大值；
（3）是否存在正整數(shù)k，滿足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在三棱錐D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC的中點,F在棱AC上,且AF=3FC

(1)求三棱錐D-ABC的體積

(2)求證:平面DAC⊥平面DEF;

(3)若M為DB中點,N在棱AC上,且CN=CA,求證:MN∥平面DEF

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