Question

14．已知函數f（x）=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$（a∈R）是定義域為R的奇函數，其中e是自然對數的底數．
（1）求實數a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式f（x²+x）+f（2-tx）＜0成立，求實數t的取值范圍；
（3）若函數y=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$-2mf（x）在（m，+∞）上不存在最值，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由奇函數的性質可得以$?x∈R，f（-x）+f（x）={e^{-x}}+\frac{a}{{{e^{-x}}}}+{e^x}+\frac{a}{e^x}=0$，解可得a的值；
（2）由函數為奇函數可得f（x²+x）＜f（tx-2），對f（x）求導分析可得f（x）為增函數，進而分析可以將不等式f（x²+x）+f（2-tx）＜0轉化為存在x∈（0，+∞），x²+x＜tx-2成立，由基本不等式的性質分析可得答案．
（3）根據題意，計算可得y=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$-2mf（x）的解析式，用換元法分析可得y=t²-2mt+2，在$t∈（{e^m}-\frac{1}{e^m}，+∞）$上不存在最值，由二次函數的性質分析可得答案．

解答 解：（1）因為$f（x）={e^x}+\frac{a}{e^x}$在定義域R上是奇函數，
所以$?x∈R，f（-x）+f（x）={e^{-x}}+\frac{a}{{{e^{-x}}}}+{e^x}+\frac{a}{e^x}=0$
即$（a+1）（{e^x}+\frac{1}{e^x}）=0$恒成立，
所以a=-1，此時$f（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}$，
（2）因為f（x²+x）+f（2-tx）＜0
所以f（x²+x）＜-f（2-tx）
又因為$f（x）={e^x}+\frac{a}{e^x}$在定義域R上是奇函數，
所以f（x²+x）＜f（tx-2）
又因為${f^'}（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}＞0$恒成立
所以$f（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}$在定義域R上是單調增函數
所以存在x∈（0，+∞），使不等式f（x²+x）+f（2-tx）＜0成立
等價于存在x∈（0，+∞），x²+x＜tx-2成立，
所以存在x∈（0，+∞），使（t-1）x＞x²+2，即$t-1＞x+\frac{2}{x}$
又因為$x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{2}$，當且僅當$x=\sqrt{2}$時取等號
所以$t-1≥2\sqrt{2}$，即$t≥2\sqrt{2}+1$，
注：也可令g（x）=x²-（t-1）x+2
①對稱軸${x_0}=\frac{t-1}{2}≤0$時，即t≤1g（x）=x²-（t-1）x+2在x∈（0，+∞）是單調增函數的．
由g（0）=2＞0不符合題意
②對稱軸${x_0}=\frac{t-1}{2}＞0$時，即t＞1
此時只需△=（t-1）²-8≥0得$t≤1-2\sqrt{2}$或者$t≥1+2\sqrt{2}$
所以$t≥1+2\sqrt{2}$
綜上所述：實數t的取值范圍為$t≥1+2\sqrt{2}$．
（3）函數$y={e^{2x}}+\frac{1}{{{e^{2x}}}}-2m（{e^x}-\frac{1}{e^x}）={（{e^x}-\frac{1}{e^x}）^2}-2m（{e^x}-\frac{1}{e^x}）+2$
令$t={e^x}-\frac{1}{e^x}，t＞{e^m}-\frac{1}{e^m}$
則$y={e^{2x}}+\frac{1}{{{e^{2x}}}}-2mf（x）$在x∈（m，+∞）不存在最值等價于函數y=t²-2mt+2，
在$t∈（{e^m}-\frac{1}{e^m}，+∞）$上不存在最值，
由函數y=t²-2mt+2，的對稱軸為t₀=m得：${e^m}-\frac{1}{e^m}＞m$成立，
令$g（m）={e^m}-\frac{1}{e^m}-m$
由${g^'}（m）={e^m}+\frac{1}{e^m}-1≥2-1=1＞0$
所以$g（m）={e^m}-\frac{1}{e^m}-m$在m∈R上是單調增函數．
又因為g（0）=0，
所以實數m的取值范圍為m＞0．

點評 本題考查函數的最值以及恒成立問題，關鍵是由奇函數的性質求出a的值．