Question

5．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線AC與C₁D所成的角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC與C₁D所成的角．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（0，-1，-1），
設(shè)異面直線AC與C₁D所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{{C}_{1}D}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{C}_{1}D}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{{C}_{1}D}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴異面直線AC與C₁D所成的角為$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．