【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ﹣3lnx(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的一個極值點,求a值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a=﹣2時,求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最值.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),

由題有f′(x)=1﹣ ,

所以由x=3是函數(shù)f(x)的一個極值點得f′(3)=1﹣ ﹣1=0,解得:a=0,

此時f′(x)=1﹣ = ,

所以,當x>3時,f′(x)>0;當0<x<3時,f′(x)<0,

即函數(shù)f(x)在(3,+∞)單調(diào)遞增;在(0,3)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)


(2)解:因為a=﹣2,所以f(x)=x﹣ ﹣3lnx,

f′(x)=1+ = ,

所以,當0<x<1或x>2時,f′(x)>0;當1<x<2時,f′(x)<0,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),

又x∈[1,e],所以f(x)在[1,2]遞減,在[2,e]遞增,

所以f(x)的最小值f(x)min=f(2)=1﹣3ln2,

又f(1)=﹣1,f(e)=e﹣ ﹣3及f(e)﹣f(1)=e﹣ ﹣2<2.72﹣ ﹣2= <0,

所以f(x)的最大值為f(x)max=f(1)=﹣1


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最小值,計算f(e),f(1)的大小,求出f(x)的最大值即可.

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X

﹣1

0

1

P

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A.3
B.1
C.0
D.4

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A.[5,+∞)
B.[2,+∞)
C.[4,+∞)
D.[2,4]

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A.me=mO
B.me=mO<
C.me<mO<
D.mO<me<

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【題目】為了弘揚民族文化,某校舉行了“我愛國學,傳誦經(jīng)典”考試,并從中隨機抽取了100名考生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計制表,其中成績不低于80分的考生被評為優(yōu)秀生,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),用頻率估計概率,回答下列問題.

分組

頻數(shù)

頻率

[50,60)

5

0.05

[60,70)

a

0.20

[70,80)

35

b

[80,90)

25

0.25

[90,100)

15

0.15

合計

100

1.00

(I)求a,b的值及隨機抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅱ)按頻率分布表中的成績分組,采用分層抽樣抽取20人參加學校的“我愛國學”宣傳活動,求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
(Ⅲ)在第(Ⅱ)問抽取的優(yōu)秀生中指派2名學生擔任負責人,求至少一人的成績在[90,100]的概率.

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A.34
B.68
C.96
D.102

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【題目】某工廠的A、B、C三個不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進行檢測.

車間

A

B

C

數(shù)量

50

150

100


(1)求這6件樣品中來自A、B、C各車間產(chǎn)品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件進行進一步檢測,求這2件商品來自相同車間的概率.

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