Question

12．如圖所示，質(zhì)點(diǎn)A從坐標(biāo)原點(diǎn)O開(kāi)始沿箭頭所指方向作規(guī)則運(yùn)動(dòng)，每次只運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位，相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)記為A_n，如A₁（0，1），A₂（1，1），A₃（1，0），A₄（1，-1），…，則A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（　　）

• A． （-21，12）
• B． （-22，12）
• C． （-21，13）
• D． （-22，13）

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形上共有格點(diǎn)a_n=8n個(gè)，且最后一個(gè)格點(diǎn)為（-n，n），由前n個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=$\frac{n（8n+8）}{2}$≥2015，得n≥22．由此能求出第2015個(gè)格點(diǎn)A₂₀₁₅坐標(biāo)

解答 解：以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2的正方形上共有格點(diǎn)a₁=8個(gè)，
且最后一個(gè)格點(diǎn)為（-1，1）；
以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形上共有格點(diǎn)a₂=16個(gè)，
且最后一個(gè)格點(diǎn)為（-2，2）；
以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為6的正方形上共有格點(diǎn)a₃=24個(gè)，
且最后一個(gè)格點(diǎn)為（-3，3）；
…
以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形上共有格點(diǎn)a_n=8n個(gè)，
且最后一個(gè)格點(diǎn)為（-n，n），
由前n個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)：
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=$\frac{n（8n+8）}{2}$≥2015，
得n≥22．
當(dāng)n=22時(shí)，前22個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)S₂₂=$\frac{22×（176+8）}{2}$=2024，
且第22個(gè)正方形（邊長(zhǎng)為44）上的最后一個(gè)格點(diǎn)為A₂₀₂₄（-22，22），
故第2015個(gè)格點(diǎn)A₂₀₁₅坐標(biāo)為（-22，13）．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查第2015個(gè)格點(diǎn)A₂₀₁₅坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意歸納法和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用．