Question

4．（1）求函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)A_n=nⁿ⁺¹，B_n=（n+1）ⁿ（n∈N^*）．
①實(shí)驗(yàn)：分別就n=1，2，3，4，比較A_n與B_n的大小；
②根據(jù)①的實(shí)驗(yàn)結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）①n分別取1，2，3，4，從而比較出大��；②由①猜想：當(dāng)n≥3且n∈N⁺時，A_n＞B_n，分別采用函數(shù)的單調(diào)性或數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，x＞0，
當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）遞減，在（e，+∞）遞增；
（2）①當(dāng)n=1時，A₁=1，B₁=2，A₁＜B₁，
當(dāng)n=2時，A₂=8，B₂=9，A₂＜B₂，
當(dāng)n=3時，A₃=81，B₃=64，A₃＞B₃，
當(dāng)n=4時，A₄=1024，B₄=625，A₄＞B₄，
②由①猜想：當(dāng)n≥3且n∈N⁺時，A_n＞B_n，
證明如下：
方法（一）：由（1）f（x）在區(qū)間（e，+∞）單調(diào)遞減，
n≥3時，f（n+1）＜f（n），即$\frac{ln（n+1）}{n+1}$＜$\frac{lnn}{n}$，
∴nln（n+1）＜（n+1）lnn，
∴l(xiāng)n（n+1）ⁿ＜lnnⁿ⁺¹，
∴（n+1）ⁿ＜nⁿ⁺¹，即B_n＜A_n，
∴當(dāng)n≥3且n∈N⁺時，A_n＞B_n，
方法（二）：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°：當(dāng)n=3時成立，
2°：設(shè)n=k（k≥3，k∈N⁺）時，猜想成立，即有k^k+1＞（k+1）^k①，
則n=k+1時，由①得：$\frac{{k}^{k+1}}{{（k+1）}^{k}}$＞1，
又（k+1）²＞k（k+2），即$\frac{k+1}{k+2}$＞$\frac{k}{k+1}$，
∴$\frac{{（k+1）}^{k+2}}{{（k+2）}^{k+1}}$=${（\frac{k+1}{k+2}）}^{k}$•$\frac{{（k+1）}^{2}}{k+2}$＞${（\frac{k}{k+1}）}^{k}$•$\frac{k（k+2）}{k+2}$=$\frac{{k}^{k+1}}{{（k+1）}^{k}}$＞1，
∴（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即A_n+1＞B_n+1，
∴n=k+1成立，
∴綜合1°，2°當(dāng)n≥3且n∈N⁺時，A_n＞B_n．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道中檔題．