Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經(jīng)過點（$\frac{π}{2}$，-1）
（1）求f（x）的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若g（x）=f（x）+1，且x∈[0，π]時，求函數(shù)g（x）的最小值及此時x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象過點（$\frac{π}{2}$，-1），求得m的值，可得函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)g（x）的最小值及此時x的取值集合．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經(jīng)過點（$\frac{π}{2}$，-1），∴m+0=-1，即m=-1，
∴f（x）=-sinx+cosx=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{3π}{4}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{7π}{4}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$]，k∈Z．
（2）x∈[0，π]時，x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴當(dāng)sin（x-$\frac{π}{4}$）=1時，函數(shù)g（x）=1-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$） 取得最小值為1-$\sqrt{2}$，
此時，由sin（x-$\frac{π}{4}$）=1，可得x取值的集合為{x|x=$\frac{3π}{4}$}．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．