Question

S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N^*，都有9S_n=10a_n+9（n+10），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

 

，前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由9S_n=10a_n+9（n+10），n≥2時(shí)，9S_n-1=10a_n-1+9（n+9），得{a_n-1}是公比為10的等比數(shù)列，n=1時(shí)，得a₁-1=-100，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：9S_n=10a_n+9（n+10），
n≥2時(shí)，9S_n-1=10a_n-1+9（n+9），
相減，得9a_n=10a_n-10a_n-1+9，
a_n=10a_n-1-9，
a_n-1=10a_n-1-10，

an-1

an-1-1

=10，
∴{a_n-1}是公比為10的等比數(shù)列，
n=1時(shí)，9a₁=10a₁+9（1+10），解得a₁=-99，a₁-1=-100，
∴a_n-1=（-100）•10^n-1=-10ⁿ⁺¹，
∴a_n=1-10ⁿ⁺¹．
∴S_n=n-（10²+10³+…+10ⁿ⁺¹）
=n-

100(1-10n)

1-10

=n-

100

9

(10n-1)．
故答案為：1-10ⁿ⁺¹；n-

100

9

(10n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．