Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0），且f（a²-4）=f（2a-8），則$\frac{f（n）-4a}{n+1}（n∈{N^+}）$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{37}{4}$
• B． $\frac{35}{8}$
• C． $\frac{28}{3}$
• D． $\frac{27}{4}$

Answer 1

分析 求出f（x）的對稱軸，由題意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），解得a的值，取負的，化簡可得f（x）的解析式，即有f（n），代入由基本不等式，注意n為正整數(shù)，計算即可得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0）的對稱軸為x=-$\frac{a+8}{2}$，
由題意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），
解得a=1或a=-4，
由a＜0，可得a=-4，f（x）=x²+4x，即有f（n）=n²+4n，
則$\frac{f（n）-4a}{n+1}（n∈{N^+}）$=$\frac{{n}^{2}+4n+16}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}+2（n+1）+13}{n+1}$
=（n+1）+$\frac{13}{n+1}$+2≥2$\sqrt{（n+1）•\frac{13}{n+1}}$+2=2$\sqrt{13}$+1，
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=$\frac{13}{n+1}$即n=$\sqrt{13}$-1時取等號，
但n為正整數(shù)，且$\sqrt{13}$-1∈（2，3），由n=2時，$\frac{{n}^{2}+4n+16}{n+1}$=$\frac{28}{3}$；
n=3時，$\frac{{n}^{2}+4n+16}{n+1}$=$\frac{37}{4}$＜$\frac{28}{3}$．
故當(dāng)n=3時原式取最小值$\frac{37}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查二次函數(shù)解析式的求法，注意運用對稱性，考查基本不等式的運用，注意等號成立的條件，考查運算能力，屬中檔題．