Question

19．如圖，在棱長為2的正方體OABC-O′A′B′C′中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點．
（1）當(dāng)AE=BF時，求證A′F⊥C′E；
（2）若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，求直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以CC'為z軸，CO為x軸，CB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A′F⊥C′E．
（2）求出平面B'EF的法向量和$\overrightarrow{{O}^{'}B}$，利用向量法能求出直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值．

解答 證明：（1）以CC'為z軸，CO為x軸，CB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)F（0，y，0），∵AE=BF，∴BE=CF，∴E（y，2，0），…（2分）
又A′（2，2，2），C′（0，0，2），
∴$\overrightarrow{{A}^{'}F}$=（-2，y-2，-2），$\overrightarrow{{C}^{'}E}$=（y，2，-2），…（3分）
∵$\overrightarrow{{A}^{'}F}$•$\overrightarrow{{C}^{'}E}$=-2y+2y-4+4=0，…（4分）
∴$\overrightarrow{{A}^{'}F}$⊥$\overrightarrow{{C}^{'}E}$，∴A′F⊥C′E．…（5分）
解：（2）E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，0），B'（0，2，2），
$\overrightarrow{EB'}=（{-1，0，2}）$，$\overrightarrow{F{B}^{'}}$=（0，1，2），…（6分）
設(shè)平面B'EF的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
則 $\left\{\begin{array}{l}-x+2z=0\\ y+2z=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}z=\frac{x}{2}\\ z=-\frac{y}{2}\end{array}\right.$，取x=2，則z=1，y=-2，$\overrightarrow n=（{2，-2，1}）$…（8分）
又O′（2，0，2），B（0，2，0），$\overrightarrow{{O}^{'}B}$=（-2，2，-2），…（9分）
設(shè)O′B與平面B′EF所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{O}^{'}B}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|-4-4-2|}{6\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，…（11分）
即直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值為$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．…（12分）

點評 本題空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查線面角的正弦值的求法，考查推理論證能力\空間思維能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．