Question

3．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．
（Ⅰ）求甲獲得這次比賽勝利的概率；
（Ⅱ）求經(jīng)過5局比賽，比賽結(jié)束的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記A_i表示事件：第i局甲獲勝，i=3，4，5，B_j表示事件：第j局乙獲勝，j=3，4．記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B=A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，由此能求出甲獲得這次比賽勝利的概率．
（Ⅱ）經(jīng)過5局比賽，甲獲勝的概率為P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）；經(jīng)過5局比賽，乙獲勝的概率為P（A₃•B₄•B₅）+P（B₃•A₄•B₅），由此能求出經(jīng)過5局比賽，比賽結(jié)束的概率．

解答 解：（Ⅰ）記A_i表示事件：第i局甲獲勝，i=3，4，5，B_j表示事件：第j局乙獲勝，j=3，4．
記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．
因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，
從而B=A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅，
由于各局比賽結(jié)果相互獨立，
故P（B）=P（A₃•A₄）+P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）
=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（A₄）P（A₅）+P（A₃）P（B₄）P（A₅）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648．
（Ⅱ）經(jīng)過5局比賽，甲獲勝的概率為
P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288；
經(jīng)過5局比賽，乙獲勝的概率為
P（A₃•B₄•B₅）+P（B₃•A₄•B₅）=0.6×0.4×0.4+0.4×0.6×0.4=0.192．
所以經(jīng)過5局比賽，比賽結(jié)束的概率為0.288+0.192=0.48．

點評 本題考查互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率，解題之前，要分析明確事件間的關(guān)系，一般先按互斥事件分情況，再由相互獨立事件的概率公式，進行計算．