【題目】如圖，在空間四面體中， ⊥平面,,且．

（1）證明:平面⊥平面；

（2）求四面體體積的最大值，并求此時(shí)二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）,

【解析】

（1）由勾股定理可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得面 ，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，則，

由棱錐的體積公式求得棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)可得體積的最大值；以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求得平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

（1），

故 即

又

由、得

故有平面⊥平面

（2）設(shè)，則

四面體的體積

，故在單增，在單減

易知時(shí)四面體的體積最大，且最大值是

以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則

設(shè)平面的法向量為 則由

取，得平面的一個(gè)法向量為

同理可得平面的一個(gè)法向量

由于是銳二面角，故所求二面角的余弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， （為常數(shù)）．

（1）若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，且，證明： ；

（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，并且直線平分圓.

（1）求圓的方程；

（2）若過點(diǎn)，且斜率為的直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)要完成下列三項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從罐奶粉中抽取罐進(jìn)行食品安全衛(wèi)生檢查；②高二年級(jí)有名學(xué)生，為調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況抽取一個(gè)容量為的樣本；③從某社區(qū)戶高收入家庭，戶中等收入家庭，戶低收入家庭中選出戶進(jìn)行消費(fèi)水平調(diào)查.以下各調(diào)查方法較為合理的是（ ）

A.①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣，③分層抽樣

B.①簡單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣

C.①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機(jī)抽樣

D.①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，，，，.

（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐中,平面 平面,BC//平面PAD, ,.

求證:(1) 平面；

(2)平面平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)=．

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)已知在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若,，求.

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