Question

6．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁上，CE=2EC₁，AB=6，M，N分別為棱AB和AD的中點．
（1）求三棱錐M-BDE的體積；
（2）求證：平面C₁MN∥平面BDE．

Answer 1

分析 （I）V_M-BDE=V_E-BDM=$\frac{1}{3}$S_△BDM•CE．
（II）連接AC與MN和BD分別交于F，G兩點，連接C₁F和EG，由中位線定理得MN∥BD，由$\frac{CG}{CF}=\frac{CE}{CC′}=2$得EG∥C₁F，故平面C₁MN∥平面BDE．

解答 解：（Ⅰ）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，CE=2EC₁，
∴CE=4．
∵CE⊥平面BDM，
∴V_M-BDE=V_E-BDM=$\frac{1}{3}$S_△BDM•CE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×6×4$=12．
（Ⅱ）連接AC與MN和BD分別交于F，G兩點，連接C₁F和EG．
∵M，N分別是AB和AD的中點，
∴MN∥BD，又∵MN?平面BDE，BD?平面BDE，
∴MN∥平面BDE．
∵$\frac{CE}{EC1}$=$\frac{CG}{GF}$=2，∴EG∥C₁F，
又∵C₁F?平面BDE，EG?平面BDE，
∴C₁F∥平面BDE．
∵C₁F?平面C₁MN，MN?平面C₁MN，C₁F∩MN=F，
∴平面C₁MN∥平面BDE．

點評 本題考查了面面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．