Question

18．某地區(qū)某商品的零售價格每周不斷發(fā)生變化，但呈現(xiàn)如下規(guī)律：本周價格a元時，下周價格以概率p升1元或以概率1-p降1元，若第一周的價格為20元．
（I）若p=$\frac{1}{2}$，求第五周價格仍為20元的概率；
（Ⅱ）若p=$\frac{2}{3}$，第五周的價格為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由第一周的價格為20元，第五周價格仍為20元，得到價格上升兩次，下降兩次，由此能求出第五周價格仍為20元的概率．
（Ⅱ）降價4次，價格為X=16元，降價3次，漲價1次，價格為X=18元，降價2次，漲價2次，價格為X=20元，降價1次，漲價3次，價格為X=22元，漲價4次，價格為X=24元，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出第五周的價格X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）∵本周價格a元時，下周價格以概率$\frac{1}{2}$升1元或以概率$\frac{1}{2}$降1元，
第一周的價格為20元，第五周價格仍為20元，
∴價格上升兩次，下降兩次，
∴第五周價格仍為20元的概率P=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{2}^{4}}$=$\frac{3}{8}$．
（Ⅱ）∵第一周的價格為20元，下周價格以概率$\frac{2}{3}$升1元或以概率$\frac{1}{3}$降1元，
∴降價4次，價格為X=16元，P（X=16）=（$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{1}{81}$，
降價3次，漲價1次，價格為X=18元，P（X=18）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
降價2次，漲價2次，價格為X=20元，P（X=20）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
降價1次，漲價3次，價格為X=22元，P（X=22）=${C}_{4}^{1}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）=\frac{32}{81}$，
漲價4次，價格為X=24元，P（X=24）=（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$．
∴第五周的價格X的分布列為：

X	16	18	20	22	24
P	$\frac{1}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{16}{81}$

EX=$16×\frac{1}{81}+18×\frac{8}{81}$+$20×\frac{24}{81}+22×\frac{32}{81}+24×\frac{16}{81}$=$\frac{64}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．