Question

函數f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m，則以下四個結論：
①若y=f（x）有三個不同的零點，則-

4

3

＜m＜0；
②?m∈R，使得y=f（x）的圖象與x軸沒有交點；
③?m∈R，使得y=f（x）的圖象關于點（1，1）成中心對稱；
④?m∈R，在y=f（x）的圖象上都存在四個點A，B，C，D，使得四邊形ABCD是一個菱形．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：求出原函數的導函數，得到極值點，由極大值大于0極小值小于0求解m的范圍判斷①；
由x→-∞時，f（x）→-∞，x→+∞時，f（x）→+∞判斷②；
求出原函數的二階導數判斷③；
求出函數f（x）=

1

3

x³-2x²+3x的對稱中心，得到兩極值點的中垂線，說明直線與f（x）=

1

3

x³-2x²+3x有交點判斷④．

解答： 解：f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m，則
f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
當x∈（-∞，1），（3，+∞）時，f′（x）＞0．
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0．
∴f（x）的極大值為f（1）=m+

4

3

，極小值為f（3）=m．
若y=f（x）有三個不同的零點，則

m+ 4 3 ＞0 m＜0

，解得-

4

3

＜m＜0．命題①正確；…①
當x→-∞時，f（x）→-∞，當x→+∞時，f（x）→+∞，
∴不存在m∈R，使得y=f（x）的圖象與x軸沒有交點．命題②錯誤；…②
由f′′（x）=2x-4=0，得x=2，
∴不?m∈R，使得y=f（x）的圖象關于點（1，1）成中心對稱．命題③錯誤；…③
函數f（x）=

1

3

x³-2x²+3x的對稱中心為（2，

2

3

），取A（1，

4

3

），B（3，0），
過（2，

2

3

）作斜率為

3

2

的直線，方程為y-

2

3

=

3

2

(x-2)，即y=

3

2

x-

7

3

．
聯立

y= 3 2 x- 7 3 y= 1 3 x3-2x2+3x

，得2x³-12x²+9x+2=0，
令g（x）=2x³-12x²+9x+2，
求導可得函數g（x）有三個零點．
即y=

3

2

x-

7

3

與f（x）=

1

3

x³-2x²+3x有三個交點．
也就是f（x）=

1

3

x³-2x²+3x上存在另兩點C，D，使四邊形ABCD是一個菱形．
而f（x）=

1

3

x³-2x²+3x+m只是把f（x）=

1

3

x³-2x²+3x上下平移．
∴命題④正確…④
故答案為：①④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了利用導數求函數的單調性，訓練了函數零點的判定方法，是壓軸題．