Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點分別為A，B，左焦點為F，以原點O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線交橢圓于M，N兩點，若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求得圓O的半徑，根據(jù)圖象及平行四邊形的性質(zhì)求得M點坐標(biāo)，代入橢圓方程，由橢圓的離心率公式，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由O與BF相切，根據(jù)三角形的面積相等，即$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$ar，則r=$\frac{bc}{a}$，
則圓O的半徑為$\frac{bc}{a}$，即丨OC丨=$\frac{bc}{a}$，
四邊形FAMN是平行四邊形，則M（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{bc}{a}$），
代入圓的方程：$\frac{（a+c）^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}^{2}}{{a}^{2}^{2}}=1$，
由e=$\frac{c}{a}$，整理得：5e²+2e-3=0，
由0＜e＜1，
解得：e=$\frac{3}{5}$，
故選A．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，橢圓的離心率公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．