Question

1．已知△ABC中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別為AC，AD上的動點，且AE：AC=AF：AD=k，k∈（0，1）．
（1）求證：不論k為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（2）當(dāng)k為何值時．平面BEF⊥平面ACD；
（3）在（2）的條件下三棱錐A-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我們易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分別是AC、AD上的動點，且AE：AC=AF：AD=k，k∈（0，1）．故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，BE⊥平面ACD，BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．在△ABC中求出k的值．
（3）由V_A-BEF=V_B-AEF，利用等體積法能求出三棱錐A-BEF的體積．

解答 （1）證明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又在△ACD中E、F分別是AC、AD上的動點，且AE：AC=AF：AD=k，k∈（0，1）．
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴不論k為何值，總有平面BEF⊥平面ABC．
（2）解：由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$tan60°=$\sqrt{6}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
由AB²=AE•AC，得AE=$\frac{6}{\sqrt{7}}$，∴k=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{6}{7}$，
故當(dāng)k=$\frac{6}{7}$時，平面BEF⊥平面ACD．
（3）∵BE⊥AC，AB⊥AC，∴$BE=\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}×1}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$，
∵AC⊥CD，EF∥CD，∴AE⊥EF，∴S_△AEF=$\frac{1}{2}×AE×EF$=$\frac{1}{2}×\frac{6}{\sqrt{7}}×\frac{6}{7}$=$\frac{18}{7\sqrt{7}}$，
∴三棱錐A-BEF的體積V_A-BEF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}×\frac{18}{7\sqrt{7}}$=$\frac{6\sqrt{6}}{49}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，考查三棱錐的體積的求法，在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直．