Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+

a

x

-2），其中常數(shù)a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍；
（2）記函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值為g（a），求關(guān)于a的方程g（a）=m的解（用m表示）．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）得出x+

a

x

-2=

x2-2x+a

x

＞0，分類討論求解即可．
（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解a＞-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，得出a＞2．
（3）求出函數(shù)關(guān)系式g（a）=

log2 a 2 ，a＜4 log2(2 a -2)，a≥4

分段解方程即可解得a=

2m+1，m＜1 (2m-1+1)2，m≥1

．

解答： 解：（1）x+

a

x

-2=

x2-2x+a

x

＞0，
若a＞1，定義域為{x|x＞0}；
若a=1，定義域為{x|x＞0且x≠1}；
若0＜a＜1，
定義域為{x|x＞1+

1-a

或0＜x＜1-

1-a

}．
（2）x+

a

x

-2=

x2-2x+a

x

＞0，（x≥2），
∴a＞-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，∴a＞2．
（3）g（a）=

log2 a 2 ，a＜4 log2(2 a -2)，a≥4

，解得a=

2m+1，m＜1 (2m-1+1)2，m≥1

．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運用不等式，最值問題求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是恒等變形，構(gòu)造函數(shù)．